线性方程组与矩阵表示#

对于 $n$ 元线性方程组：

\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2 \\ \vdots \\ a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \cdots + a_{nn}x_n = b_n \end{cases}

我们可以将其抽象为矩阵形式：

系数矩阵 $A$ ： $A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix}$
增广矩阵 $(A, b)$ 或 $\bar{A}$ ： $\bar{A} = \begin{bmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} & b_1 \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} & b_n \end{bmatrix}$

关于齐次方程组 ( $AX=0$ )

$x = (0, 0, \dots, 0)^T$ 永远是它的解，称为零解（平凡解）。

我们通常关心的是它是否存在非零解。

行列式的定义与逆序数#

在行列式的定义中，核心概念是排列与逆序数。

在排列 $j_1, j_2, \dots, j_n$ 中，如果前面的数大于后面的数（即 $j_k > j_l$ 且 $k < l$ ），则构成一个逆序。一个排列中逆序的总数称为逆序数，记为 $\tau(j_1\dots j_n)$ 。

几何直觉
逆序数本质上反映了一个排列通过“两两交换”变回标准排列（ $1, 2, \dots, n$ ）所需要的最少交换次数。这也对应了矩阵变换中，交换正对角线行/列所需的次数。

$n$ 阶行列式的值等于所有取自不同行、不同列的 $n$ 个元素的乘积的代数和：

\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & \cdots & \cdots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} = \sum_{j_1 j_2 \dots j_n} (-1)^{\tau(j_1 j_2 \dots j_n)} a_{1j_1} a_{2j_2} \cdots a_{nj_n}

对于 $n=3$ 的特例，可以使用“划线法”快速计算：

\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}

主对角线方向 (+)： $a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32}$
副对角线方向 (-)： $-(a_{13}a_{22}a_{31} + a_{11}a_{23}a_{32} + a_{12}a_{21}a_{33})$

注意
此法则仅适用于二阶和三阶行列式，四阶及以上不能使用！

图解: 对角线法则 - 实线为正，虚线为负

三角矩阵：上/下三角行列式（包括对角矩阵）的值等于主对角线元素的乘积。
- $D = a_{11} a_{22} \cdots a_{nn}$
- 计算行列式的通法：通过行/列变换将矩阵转化为三角矩阵。
爪形行列式 (除对角线外都相同)：技巧是利用对角线外的相同元素，将各行（列）加到某一行（列）或者互相消去，制造大量的零。
逆矩阵与伴随矩阵：
- $|A^{-1}| = |A|^{-1}$
- $A^* = |A|A^{-1}$ （伴随矩阵定义）
- $|A^*| = |A|^{n-1}$ (高频考点)
矩阵乘积与转置：
- $|AB| = |A||B|$
- $|A^T| = |A|$
幂的行列式： $|A^k| = |A|^k$
数乘矩阵的行列式（易错点）： $|kA| = k^n |A|$
几何直觉
$n$ 维空间中，每条边拉长 $k$ 倍，体积变为 $k^n$ 倍。

几何意义
行列式 = 向量组围成的空间的“体积” (在二维是面积，三维是体积，高维是超体积)

转置值不变： $D = D^T$ 。
互换变号：交换矩阵的两行（或两列），行列式的值变号。
- 几何解释：交换坐标轴，空间的“定向”（手性）改变了。
成比例值为0：若两行（列）成比例 (或相等)，行列式为 0。
- 几何解释：向量共线或共面，把体积累扁了，体积自然是 0。
公因数可提：某一行（列）有公因子 $k$ ，可提到外面。
倍加不变性：把某一行（列）的 $k$ $k$ 倍加到另一行（列）上，行列式的值不变。
- 几何解释：这是剪切变换 (Shear)。就像推一个扑克牌堆，形状变了（正方形变平行四边形），但“底 $\times$ 高”没变，所以体积不变。
单行拆分（可加性）：若行列式某一行是两个数之和，则可以拆成两个行列式之和。 $\begin{vmatrix} a_1+b_1 & a_2+b_2 & \cdots \\ c_1 & c_2 & \cdots \\ \vdots & \vdots & \ddots \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & \cdots \\ c_1 & c_2 & \cdots \\ \vdots & \vdots & \ddots \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} b_1 & b_2 & \cdots \\ c_1 & c_2 & \cdots \\ \vdots & \vdots & \ddots \end{vmatrix}$

特征：第一行全为 1，第二行是变量 $x_1, \dots, x_n$ ，后续行是变量的幂次递增。

D_n = \begin{vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ x_1 & x_2 & \cdots & x_n \\ x_1^2 & x_2^2 & \cdots & x_n^2 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & \cdots & x_n^{n-1} \end{vmatrix} = \prod_{1 \le j < i \le n} (x_i - x_j)

记忆口诀
“大减小”：所有下标大的变量减去下标小的变量的连乘积。

对于分块矩阵，计算规则类似于对角矩阵，但要注意副对角线的符号修正。

主对角线分块： $\begin{vmatrix} A_m & O \\ O & B_n \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} A_m & C \\ O & B_n \end{vmatrix} = |A| \cdot |B|$
副对角线分块（注意符号！）： $\begin{vmatrix} O & A_m \\ B_n & O \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} C & A_m \\ B_n & D \end{vmatrix} = (-1)^{mn} |A| \cdot |B|$
- 原理：将 $B_n$ 移到主对角线位置，需要将 $n$ 行向上交换 $m$ 次（或 $m$ 列向右交换 $n$ 次），总共进行了 $m \times n$ 次对换。